Processos Estocátiscos I

Confiabilidade de Sistemas: Falhas e Reparo

Nielson Junior
Alisson Lucas
André Werlang

23 de setembro de 2025

Introdução

Contexto

  • Sistemas em paralelo aumentam a confiabilidade
  • Redundância em setores críticos:
    • Energia elétrica
    • Servidores de internet
    • Sistemas de transporte
    • Processos industriais

Objetivo do Projeto

  • Modelar sistema com 2 componentes idênticos em paralelo
  • Analisar falhas (p) e reparos (q) como cadeia de Markov
  • Simular dinâmica do sistema em R
  • Estudar confiabilidade do sistema

Modelagem do Sistema

Estados do Sistema

  • Estado 2: Ambos componentes funcionando
  • Estado 1: Um funcionando, um falhado
  • Estado 0: Ambos falhados

Probabilidades de Transição

  • p: Probabilidade de falha (componente funcionando)
  • q: Probabilidade de reparo (componente falhado)

Matriz de Transição

Cálculo das Probabilidades

Do estado 2: - Permanecer em 2: (1-p)² - Ir para 1: 2p(1-p) - Ir para 0:

Do estado 1: - Ir para 2: (1-p)q - Permanecer em 1: pq + (1-p)(1-q) - Ir para 0: p(1-q)

Do estado 0: - Ir para 2: - Ir para 1: 2q(1-q) - Permanecer em 0: (1-q)²

Matriz Resultante

\[ P = \begin{pmatrix} (1-p)^2 & 2p(1-p) & p^2 \\ (1-p)q & pq + (1-p)(1-q) & (1-q)p \\ q^2 & 2q(1-q) & (1-q)^2 \end{pmatrix} \]